Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x-c（其中a，c∈R），a，c的等差中項(xiàng)是2，a是邊長為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的正三角形的外接圓半徑．（1）求f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=1，3{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{f（{a_n}+1）-f（{a_n}）-\frac{3}{2}}}（n∈{N^*}）$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)${b_n}=\frac{1}{a_n}$，在（2）的條件下，若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{S_n•cos（b_nπ）}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由正三角形的性質(zhì)可得a=$\frac{3}{2}$，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a+c=4，即可得到c，進(jìn)而得到二次函數(shù)的解析式；
（2）求出f（a_n+1），f（a_n），代入已知的等式中化簡得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通項(xiàng)公式后可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求出cos（b_nπ），然后分n為偶數(shù)和奇數(shù)，討論求解數(shù)列{S_n•cos（b_nπ）}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）a是邊長為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的正三角形的外接圓半徑，
可得a=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3}{2}$，
由a，c的等差中項(xiàng)是2，可得a+c=4，解得c=$\frac{5}{2}$，
則f（x）=$\frac{3}{2}$x²+x-$\frac{5}{2}$；
（2）∵f（an+1）-f（an）=$\frac{3}{2}$（a_n+1）²+（a_n+1）-$\frac{3}{2}$a_n²-a_n=3a_n+$\frac{5}{2}$．
由${a_1}=1，3{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{f（{a_n}+1）-f（{a_n}）-\frac{3}{2}}}（n∈{N^*}）$
=1-$\frac{1}{3{a}_{n}+1}$=$\frac{3{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$．
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
故數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
即有a_n=$\frac{1}{3n-2}$；
（3）∵b_n=3n-2，
∴cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=2k-1}\\{1，n=2k}\end{array}\right.$k為正整數(shù)，
即S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿS_n，
∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-…+（-1）ⁿS_n．
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=（-S₁+S₂）+（-S₃+S₄）+…+（-S_n-1+S_n）
=b₂+b₄+…+b_n=$\frac{3{n}^{2}+2n}{4}$；
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
T_n=T_n-1-S_n=$\frac{3（n-1）^{2}+2（n-1）}{4}$-$\frac{n（3n-1）}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}-2n+1}{4}$．
綜上，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-3{n}^{2}-2n+1}{4}，n為奇數(shù)}\\{\frac{3{n}^{2}+2n}{4}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列的遞推式及數(shù)列的和，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生綜合處理和解決問題的能力，是有一定難度題目．