Question

4．已知sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，α是第二象限角，則sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=$\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$或-$\frac{7\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{18}$．

Answer 1

分析 由二倍角的正弦函數(shù)公式結(jié)合已知等式即可求得sin2α的值，從而可求cos2α，由兩角和的正弦函數(shù)公式即可得解．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{1}{3}$，可得：sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，兩邊平方，可得：sin2α=-$\frac{7}{9}$．
∵α是第二象限角，可得：π＜2α＜2π，
∴cos2α=$±\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=$±\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∴sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=sin2αcos$\frac{5π}{6}$+cos2αsin$\frac{5π}{6}$=（-$\frac{7}{9}$）×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+（±$\frac{4\sqrt{2}}{9}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$或-$\frac{7\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{18}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$或-$\frac{7\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{18}$．

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，二倍角公式，同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．