Question

2．已知函數(shù)f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
（1）若f（1）=0，求f（f（m））；
（2）若m=4，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，5]的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用f（1）=0，求出m，然后求解f（f（m））；
（2）m=4，化簡函數(shù)f（x）的解析式，然后求解在區(qū)間[1，5]的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
（1）f（1）=0，可得：|1-m|+2-3=0，解得m=0或m=2，
m=0時，f（x）=x|x|+2x-3，f（f（0））=f（-3）=-9-6-3=-18；
m=2時，f（x）=x|x-2|+2x-3，f（f（2））=f（1）=0；
（2）若m=4，f（x）=x|x-4|+2x-3=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x-3，x≥4\\-{x}^{2}+6x-3，x＜4\end{array}\right.$．
x∈[4，5]，函數(shù)f（x）=x²-2x-3的對稱軸為x=1，函數(shù)在x∈[4，5]是單調(diào)增函數(shù)，f（x）∈[5，12]；
x∈[1，4]，函數(shù)f（x）=-x²+6x-3的對稱軸為x=3，函數(shù)在x∈[1，3]是單調(diào)增函數(shù)，[3，4]單調(diào)減函數(shù)，
可得f（x）∈[2，9]；
f（x）在區(qū)間[1，5]的值域[2，12]．

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．