Question

19．若曲線(xiàn)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a，b，c＞0）上不存在斜率為0的切線(xiàn)，則$\frac{f′（1）}$-1的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由題意得到f′（x）=ax²+bx+c=0無(wú)解，即b＜2$\sqrt{ac}$，因?yàn)?\frac{f′（1）}$-1=$\frac{a+c}$，利用基本不等式即可求出．

解答 解：∵曲線(xiàn)f（x）上不存在斜率為0的切線(xiàn)，
∴f′（x）=ax²+bx+c=0無(wú)解，
∴△=b²-4ac＜0，即b＜2$\sqrt{ac}$
∴f′（1）=a+b+c，
∴$\frac{f′（1）}$-1=$\frac{a+b+c}$-1=$\frac{a+c}$，
∵$\frac{a+c}$≥$\frac{2\sqrt{ac}}$≥$\frac$=1，
∴$\frac{f′（1）}$-1的取值范圍是[1，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和方程的解得問(wèn)題，以及基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．