Question

17．用數(shù)學歸納法證明2ⁿ+2＞n²（n≥3，n∈N）．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)學歸納法的證明步驟：n=3時，原不等式顯然成立；然后假設n=k時成立，即有2^k+2＞k²，然后證明n=k+1時成立即可，并且用上n=k時的不等式便有，左邊=2^k+1+2=2•（2^k+2）-2＞2k²-2，右邊=k²+2k+1，從而說明2k²-2＞k²+2k+1即可．

解答 證明：（1）n=3時，10＞9，不等式成立；
（2）假設n=k（k≥3，k∈N）時不等式成立，即2^k+2＞k²；
當n=k+1時：左邊=2^k+1+2=2•（2^k+2）-2＞2k²-2；
右邊=（k+1）²=k²+2k+1；
∵2k²-2-（k²+2k+1）=k²-2k-3=（k-3）（k+1）≥0；
∴2k²-2≥（k+1）²，k≥3，k∈N；
即當n=k+1時，2^k+1+2＞（k+1）²，不等式成立；
綜上得，2ⁿ+2＞n²（n≥3，n∈N）．

點評 考查數(shù)學歸納法的概念，以及數(shù)學歸納法證明題的步驟，在證明n=k+1成立時，要想著用上n=k時得出的式子，作差比較法的應用．