Question

【題目】已知四棱錐中，底面為矩形， 底面， ，

為中點(diǎn).

（Ⅰ）在圖中作出平面與的交點(diǎn)，并指出點(diǎn)所在位置（不要求給出理由）；

（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)為中點(diǎn)，利用三角形中位線定理及其線面平行的判定定理可得截面如圖所示；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，求出面的法向量，利用可得解；（Ⅲ）求出平面的法向量，求出法向量的夾角即可.

試題解析：（Ⅰ）解：作PB的中點(diǎn)N，連接MN，如圖，

（在圖中畫(huà)出）因此，N為PB的中點(diǎn).

（Ⅱ）因?yàn)樗睦忮F中，底面為矩形， 底面，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線AB,AD,AP所在直線建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則

設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，則

設(shè)直線與平面所成角為，平面的法向量為，

則

即令，則

則，所以

所以在線段上存在中點(diǎn)，

使得直線與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）設(shè)平面的法向量，則

令，則，所以

所以

所以二面角的平面角的余弦值為.