Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x 求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x=（ sin²x+cos²x）+$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
故函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．