Question

8．已知關(guān)于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）當(dāng)a=4時，求不等式的解集；
（2）設(shè)f（x）=|2x+1|-|x-1|，若不等式f（x）≤log₂a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要求的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的3個不等式組，求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由（1）求得f（x）的最小值為$-\frac{3}{2}$．所以若使f（x）≤log₂a有解，只需log₂a≥f（x）_min ，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=4時，f（x）=|2x+1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-2，x＜-\frac{1}{2}}\\{3x，-\frac{1}{2}≤x≤1}\\{x+2，x＞1}\end{array}\right.$，
不等式即f（x）≤2，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-x-2≤2}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤1}\\{3x≤2}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+2≤2}\end{array}\right.$③．
解①求得-4≤x＜-$\frac{1}{2}$；解②取得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{2}{3}$；解③求得x∈∅，
綜上可得，不等式的解集為{x|-4≤x≤$\frac{2}{3}$}．
（2）由（1）可得$f（x）∈[{-\frac{3}{2}，+∞}）$，
即f（x）的最小值為$-\frac{3}{2}$．所以若使f（x）≤log₂a有解，只需log₂a≥f（x）_min=-$\frac{3}{2}$，
∴a≥${2}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，即a的范圍為[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的能成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．