Question

3．在△ABC中，$\frac{π}{3}$≤B≤$\frac{π}{2}$，求證：a+c≤2b．

Answer 1

分析 由正弦定理及和差化積可得原命題等價(jià)于：2sin$\frac{A+C}{2}$•cos$\frac{A-C}{2}$≤2sinB，可證$\frac{A+C}{2}≤B$，由B≤$\frac{π}{2}$，則可證sin$\frac{A+C}{2}$≤sinB，又cos$\frac{A-C}{2}$≤1，即可得證．

解答 證明：由正弦定理可得 a+c≤2b 等價(jià)于sinA+sinC≤2sinB，
左邊和差化積 sinA+sinC=2sin$\frac{A+C}{2}$•cos$\frac{A-C}{2}$≤2sinB，
因?yàn)锳+B+C=π，$\frac{π}{3}$≤B≤$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$≤A+C≤2*$\frac{π}{3}$，2*$\frac{π}{3}$≤2B≤π，所以A+C≤2B
所以$\frac{A+C}{2}≤B$，
因?yàn)锽≤$\frac{π}{2}$，則sin$\frac{A+C}{2}$≤sinB，
又cos$\frac{A-C}{2}$≤1 所以成立，
所以a+c≤2b．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理及和差化積公式，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．