Question

18．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，其焦點(diǎn)與雙曲線C：x²-$\frac{y^2}{2}$=1的焦點(diǎn)重合，且橢圓E的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與其一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)A作直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P、Q．設(shè)點(diǎn)M（4，3），記直線PM、QM的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁+k₂為定值，求出此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，確定c，利用橢圓E的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與其一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，可得a=2b，利用a²=b²+c²，求出a，b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，其左右焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），∴c=$\sqrt{3}$，
∵橢圓E的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與其一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，
∴a=2b，
∵a²=b²+c²，
∴a=2，b=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）①雙曲線C右頂點(diǎn)為A（1，0），
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
設(shè)直線l與橢圓E交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴k₁+k₂=$\frac{3-{y}_{1}}{4-{x}_{1}}+\frac{3-{y}_{2}}{4-{x}_{2}}$=$\frac{24-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+k[2{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+8]}{16-4（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24（3{k}^{2}+1）}{12（3{k}^{2}+1）}$=2
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，代入橢圓方程可得x=1，y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
不妨設(shè)P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），則k₁+k₂=$\frac{3-\frac{\sqrt{3}}{2}}{4-1}+\frac{3+\frac{\sqrt{3}}{2}}{4-1}$=2為定值．
綜上所述，k₁+k₂為定值，定值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，屬于中檔題．