Question

1．斜率為k≠0的兩條直線分別切函數(shù)f（x）=x³+（t-1）x²-1于A，B兩點(diǎn)，若直線AB的方程為y=2x-1，則t+k的值為7．

Answer 1

分析 可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得x₁，x₂為3x²+2（t-1）x-k=0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由直線AB方程和函數(shù)f（x）聯(lián)立，消去y，得到x的方程，再由韋達(dá)定理，解方程可得k=6，t=1，即可得到結(jié)論．

解答 解：斜率為k≠0的兩條直線分別切函數(shù)f（x）=x³+（t-1）x²-1于A，B兩點(diǎn)，
可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
函數(shù)f（x）=x³+（t-1）x²-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2（t-1）x，
則x₁，x₂為3x²+2（t-1）x-k=0的兩根，
即有x₁+x₂=$\frac{2（1-t）}{3}$，x₁x₂=-$\frac{k}{3}$，（k≠0），
又直線AB的方程為y=2x-1，
代入y=x³+（t-1）x²-1，可得2x=x³+（t-1）x²，
由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)不為0，則x²+（t-1）x-2=0，
則有x₁+x₂=1-t，x₁x₂=-2，
由-2=-$\frac{k}{3}$，1-t=$\frac{2（1-t）}{3}$，解得k=6，t=1，
即有k+t=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，運(yùn)用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．