Question

15．已知x、y、z均大于0．
①求證：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥$\frac{4}{x+y}$；
②求證：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥$\frac{2}{x+y}$+$\frac{2}{y+z}$+$\frac{2}{z+x}$．

Answer 1

分析 ①作差$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}$，然后通分即可說明$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}≥0$，從而得證；
②通過觀察會發(fā)現(xiàn)，利用上上面的結(jié)論便可證出本問．

解答 證明：①$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y（x+y）+x（x+y）-4xy}{xy（x+y）}$=$\frac{（x-y）^{2}}{xy（x+y）}$；
∵x，y，z均大于0，（x-y）²≥0；
∴$\frac{（x-y）^{2}}{xy（x+y）}≥0$；
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{4}{x+y}$；
②由①知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{4}{x+y}$，$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}≥\frac{4}{y+z}$，$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}≥\frac{4}{z+x}$，這三個不等式兩邊同時相加得：
$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}）≥\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}$；
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}≥\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}$．

點評 考查作差證明不等式的方法，完全平方式的運用，能夠發(fā)現(xiàn)第二問的證明需用第一問的結(jié)論．