Question

16．如圖，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF=BF=BC=1，DE=$\sqrt{2}$，現(xiàn)將△ABF，△CDE分別沿BF與CE翻折，使點A與點D重合．
（Ⅰ）設(shè)面ABF與面CDE相交于直線l，求證：l∥CE；
（Ⅱ）試類比求解三角形的內(nèi)切圓（與三角形各邊都相切）半徑的方法，求出四棱錐A-BCEF的內(nèi)切球（與四棱錐各個面都相切）的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得CE∥BF，由線面平行的判定定理得到CE與平面ABF平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得到l∥CE；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AF⊥平面BCEF，故四棱錐A-BCEF是以平面BCEF為底面，以AF為高的棱錐，求出棱錐的體積，類比求解三角形的內(nèi)切圓（與三角形各邊都相切）半徑的方法，可得答案．

解答 證明：（Ⅰ）∵CECE∥BF，CE?面ABF，BF?面ABF
∴CE∥面ABF
又∵CE?面ACE，面ABF∩面ACE=l．
∴l(xiāng)∥CE…（6分）
（Ⅱ）∵AF=BF=BC=1，DE=$\sqrt{2}$，
∴AE²=DE²=AF²+FE²，
即AF⊥EF，
又∵BF⊥AD于F，即AF⊥BF，EF，BF?平面BCEF，EF∩BF=F，
∴AF⊥平面BCEF，
故四棱錐A-BCEF是以平面BCEF為底面，以AF為高的棱錐，
故四棱錐A-BCEF的體積V=$\frac{1}{3}$×1×1×1=$\frac{1}{3}$，
四棱錐A-BCEF的表面積S=$\frac{1}{2}$（1+1+1+$\sqrt{2}$）×1+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=2+$\sqrt{2}$，
類比求解三角形的內(nèi)切圓（與三角形各邊都相切）半徑的方法，
設(shè)四棱錐A-BCEF的內(nèi)切球半徑為R，
則V=$\frac{1}{3}$SR，
故R=$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查了線面平行、類比推理及棱錐的體積表面積公式，是立體幾何的簡單綜合應(yīng)用，難度中檔．