Question

5．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（1，-2），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）求tanA的值；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合同角的商數(shù)關(guān)系，計算即可得到所求；
（2）由二倍角的余弦公式，化簡整理可得sinx的二次函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域和二次函數(shù)的最值求法，即可得到值域．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（1，-2），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
即有sinA-2cosA=0，
則tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=2；
（2）f（x）=cos2x+tanAsinx=cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1=-2（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
由-1≤sinx≤1，
$\frac{1}{2}$∈[-1，1]，可得f（x）的最大值為$\frac{3}{2}$，
當(dāng)sinx=-1時，f（x）=-3，
sinx=1時，f（x）=1．
則f（x）的最小值為-3．
則f（x）的值域為[-3，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查二倍角的余弦公式和正弦函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．