Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b．
（1）若對任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥2x-1+b，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）的最大值為-2，求a²+b²的取值范圍．
（3）已知a∈（0，$\frac{1}{2}$），對于任意的x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1．請用a表示b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知便可得到ax≥-x²+2x-1恒成立，可以想著兩邊同除以x，從而討論x是否為0：x=0時，顯然對任意a∈R都成立，而a≠0時，兩邊可同除以x從而根據(jù)基本不等式即可得到a的取值范圍；
（2）f（x）的最大值為-2，從而有$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=1-a+b≤-2}\\{f（1）=1+a+b≤-2}\end{array}\right.$，進(jìn)一步可得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2ab+^{2}≥9}\\{{a}^{2}+2ab+^{2}≥9}\end{array}\right.$，從而兩不等式相加即可得出a²+b²的取值范圍；
（3）求f（x）的對稱軸x=$-\frac{a}{2}$，根據(jù)a的范圍便得到$-\frac{a}{2}∈（-\frac{1}{4}，0）$，從而f（x）的最大值為f（1）=1+a+b，而最小值便為$f（-\frac{a}{2}）=b-\frac{{a}^{2}}{4}$，而根據(jù)條件知-1≤f（x）≤1，這樣便得到$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b≤1}\\{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥-1}\end{array}\right.$，這樣解出b的取值范圍即可．

解答 解：（1）根據(jù)條件，x²+ax+b≥2x-1+b恒成立；
∴ax≥-x²+2x-1恒成立；
①若x=0，0≥-1，顯然對任意a都成立；
②若x＞0，a≥$-x-\frac{1}{x}+2$；
∵$x+\frac{1}{x}≥2$；
∴$-x-\frac{1}{x}+2≤0$；
∴a≥0；
③若x＜0，$a≤-x-\frac{1}{x}+2$；
$-x-\frac{1}{x}+2≥4$；
∴a≤4；
∴0≤a≤4；
∴a的取值范圍為：[0，4]；
（2）根據(jù)條件：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=1-a+b≤-2}\\{f（1）=1+a+b≤-2}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-a≤-3}\\{a+b≤-3}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-2ab+{a}^{2}≥9}\\{{a}^{2}+2ab+^{2}≥9}\end{array}\right.$，兩式相加得2（a²+b²）≥18；
∴a²+b²≥9；
∴a²+b²的取值范圍為：[9，+∞）；
（3）f（x）=x²+ax+b=$（x+\frac{a}{2}）^{2}+b-\frac{{a}^{2}}{4}$；
∵$a∈（0，\frac{1}{2}）$；
∴$-\frac{a}{2}∈（-\frac{1}{4}，0）$；
∴f（x）的最小值為f（$-\frac{a}{2}$）=$b-\frac{{a}^{2}}{4}$，最大值為f（1）=1+a+b；
∵對任意的x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1，即-1≤f（x）≤1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥-1}\\{1+a+b≤1}\end{array}\right.$；
∴$\frac{{a}^{2}}{4}-1≤b≤-a$；
∴b的取值范圍為：$[\frac{{a}^{2}}{4}-1，-a]$．

點(diǎn)評 考查不等式的性質(zhì)，基本不等式用于求取值范圍，函數(shù)最大值的概念，配方求二次函數(shù)最值的方法，解絕對值不等式，以及二次函數(shù)的對稱軸．