Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到直線l₁：y=x，l₂：y=-x+1的距離分別為d₁，d₂，且滿足d₁+2d₂=2$\sqrt{2}$，則a²+b²的最大值為$\frac{17}{2}$．

Answer 1

分析 利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：|a-b|+2|a+b-1|=4．通過分類討論可知：點(diǎn)（a，b）是如圖所示的四邊形的4條邊．即可得到$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$最大值．

解答 解：∵動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到兩直線l₁：y=x和l₂：y=-x+的距離為d₁，d₂，且滿足d₁+2d₂=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$+2×$\frac{|a+b-1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
化為|a-b|+2|a+b-1|=4．
分為以下4種情況：
①$\left\{\begin{array}{l}{a-b≥0}\\{a+b-1≥0}\\{3a+b-6=0}\end{array}\right.$
②$\left\{\begin{array}{l}{a-b≥0}\\{a+b-1＜0}\\{a+3b+2=0}\end{array}\right.$，
③$\left\{\begin{array}{l}{a-b＜0}\\{a+b-1≥0}\\{a+3b-6=0}\end{array}\right.$，
④$\left\{\begin{array}{l}{a-b＜0}\\{a+b-1＜0}\\{3a+b+2=0}\end{array}\right.$．
可知點(diǎn)（a，b）是如圖所示的四邊形的4條邊．
可知：當(dāng)取點(diǎn)A或C時(shí)，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{3a+b-6=0}\\{a+b-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即C（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
此時(shí)a²+b²=（$\frac{5}{2}$）²+（-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{25}{4}+\frac{9}{4}=\frac{34}{4}$=$\frac{17}{2}$．
故答案為：$\frac{17}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、含絕對(duì)值的等式、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，難度較大．