Question

1．已知命題P：若冪函數(shù)f（x）=x^α過(guò)點(diǎn)（2，8），實(shí)數(shù)a滿足f（2-a）＞f（a-1）．命題Q：實(shí)數(shù)a滿足2^a-1＞1．且P∧Q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 2^α=8⇒α=3，則f（x）=x³．若P真：f（2-a）＞f（a-1），利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得a范圍；若Q真：2^a-1＞1，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a-1＞0，解得a范圍．由P∧Q為真，求其交集即可．

解答 解：∵2^α=8⇒α=3，則f（x）=x³，
若P真：f（2-a）＞f（a-1），$⇒2-a＞a-1⇒a＜\frac{3}{2}$；
若Q真：2^a-1＞1，∴a-1＞0，解得a＞1．
∵P∧Q為真，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜\frac{3}{2}}\\{a＞1}\end{array}}\right.⇒1＜a＜\frac{3}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（1，\frac{3}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題真假的判定、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．