Question

9．一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是$\frac{7}{9}$．
（Ⅰ）若袋中共有10個球，
（i）求白球的個數；
（ii）從袋中任意摸出3個球，求得到白球的個數為2個白球的概率；
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于$\frac{7}{10}$．并指出袋中哪種顏色的球個數最少．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設袋中白球的個數為x，由題意可得P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，得到x的值，即為所求．
（ii）分別計算從袋中任意摸出3個球的抽法總數和白球的個數為2個的抽法個數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．
（Ⅱ）設袋中有n個球，其中y個黑球，由題意得y=$\frac{2}{5}$n，n≥5，n∈N．記“從袋中任意摸2個球，至少有1個黑球”為事件B，求得 P（B）=$\frac{16}{25}+\frac{6}{25（n-1）}$，可得它的值小于或等于$\frac{7}{10}$．再據至少得到1個白球的概率是$\frac{7}{9}$，可得白球的個數比黑球多，白球個數多于$\frac{2n}{5}$，紅球的個數少于$\frac{n}{5}$．
從而得出結論．

解答 解：（Ⅰ）（i）記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設袋中白球的個數為x，
則由題意可得P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，得到x=5，或 x=14（舍去），
故白球有5個．
（ii）從中抽取3個球，共有${C}_{10}^{3}$=120種不同的抽取方法，
其中白球的個數為2個的抽法有：${C}_{5}^{2}{C}_{5}^{1}$=50種，
故從袋中任意摸出3個球，得到白球的個數為2個的概率P=$\frac{50}{120}$=$\frac{5}{12}$；
證明：（Ⅱ）設袋中有n個球，其中y個黑球，由題意得y=$\frac{2}{5}$n，n≥5，n∈N．
記“從袋中任意摸2個球，至少有1個黑球”為事件B，
則 P（B）=$\frac{{C}_{\frac{2n}{5}}^{1}{•C}_{\frac{3n}{5}}^{1}+{C}_{\frac{2n}{5}}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2n}{5}•\frac{3n}{5}+\frac{\frac{2n}{5}（\frac{2n}{5}-1）}{2}}{\frac{n（n-1）}{2}}$=$\frac{16n-10}{25（n-1）}$=$\frac{16（n-1）+6}{25（n-1）}$=$\frac{16}{25}+\frac{6}{25（n-1）}$≤$\frac{16}{25}+\frac{6}{25×4}$=$\frac{7}{10}$．
再據至少得到1個白球的概率是$\frac{7}{9}$，可得白球的個數比黑球多，白球個數多于$\frac{2n}{5}$，紅球的個數少于$\frac{n}{5}$．
故袋中紅球個數最少．

點評 本題主要考查古典概型概率計算公式，求出離散型隨機變量取每個值的概率，是解題的關鍵，屬于中檔題．