Question

19．對(duì)于使f（x）≥M恒成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值叫做函數(shù)f（x）的下確界，則f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$（$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$）的下確界$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由乘1法和基本不等式，可得f（x）的最小值，即可得到M的最大值，可得f（x）的下確界．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$（$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$）
=（x+1-x）（$\frac{\frac{1}{2}}{x}$+$\frac{2}{1-x}$）=$\frac{5}{2}$+$\frac{2x}{1-x}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-x）}{x}$
≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2x}{1-x}•\frac{\frac{1}{2}（1-x）}{x}}$=$\frac{9}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2x}{1-x}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-x）}{x}$，即x=$\frac{1}{3}$時(shí)，取得等號(hào)．
f（x）的最小值為$\frac{9}{2}$，
則M≤$\frac{9}{2}$．M的最大值為$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．