Question

5．已知$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{EC}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，且A，E，C三點共線
（1）求實數(shù)λ的值；若$\overrightarrow{e_1}=（2，1），\overrightarrow{e_2}$=（2，-2），求$\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)；
（2）已知點D（3，6），在（1）的條件下，若A，B，C，D四點構(gòu)成平行四邊形ABCD，求點A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過幾何法將向量轉(zhuǎn)化為兩向量的和，再將所得向量坐標(biāo)化，即可得正確結(jié)論；
（2）由已知幾何條件得到向量間關(guān)系，再坐標(biāo)化得到A點的坐標(biāo)，即本題答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}）}$+（$-\overrightarrow{{e}_{1}}+λ\overrightarrow{{e}_{2}}）+）（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$═$\overrightarrow{{e}_{1}}+（1+λ）\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵A，E，C三點共線，∴存在實數(shù)k，使得 $\overrightarrow{AE}$=k$\overrightarrow{EC}$．
即 $\overrightarrow{{e}_{1}}+（1+λ）\overrightarrow{{e}_{2}}$=$-2k\overrightarrow{{e}_{1}}+k\overrightarrow{{e}_{2}}$，
得（1+2k）$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（k-1-λ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∵$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}1+2k=0\\ λ=k-1\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，λ=-$\frac{3}{2}$．
$\overrightarrow{e_1}=（2，1），\overrightarrow{e_2}$=（2，-2），
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EC}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（-6，-3）+（-1，1）=（-7，-2）．
（2）∵A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$．
設(shè)A（x，y），則 $\overrightarrow{AD}$=（3-x，6-y），
又 $\overrightarrow{BC}$=（-7，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}3-x=-7\\ 6-y=-2\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=8\end{array}\right.$，
∴點A（10，8）．

點評 本題考查的是平面向量的坐標(biāo)運算，有一定的思維量，屬于中檔題．