Question

15．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），曲線C₃的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2．
（1）若C₁，C₂相交于A、B兩點(diǎn)，求出線段AB的長(zhǎng)；
（2）求線AB的垂直平分線的極坐標(biāo)方程；
（3）求曲線C₂上的點(diǎn)到C₃的最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用sin²θ+cos²θ=1可化為普通方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），展開(kāi)化為${ρ}^{2}=2×（\frac{1}{2}ρcosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$，可得直角坐標(biāo)方程：${x}^{2}+{y}^{2}=x-\sqrt{3}y$，聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式即可得出；
（3）利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d，利用d+r即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為x²+y²=1．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），展開(kāi)化為${ρ}^{2}=2×（\frac{1}{2}ρcosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=x-\sqrt{3}y$，化為$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=x-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
∴|AB|²=$（1+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3，∴|AB|=$\sqrt{3}$．
（2）線段AB的中點(diǎn)M$（\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{4}）$，k_AB=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴線AB的垂直平分線的方程為$y+\frac{\sqrt{3}}{4}=-\sqrt{3}（x-\frac{1}{4}）$，化為$\sqrt{3}x+y=0$．
極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{2π}{3}$或$θ=\frac{5π}{3}$．
（3）曲線C₃的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2，展開(kāi)$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ=2$，
化為直角坐標(biāo)方程：$x+\sqrt{3}y-4=0$．
圓心$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$到直線的距離d=$\frac{|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-4|}{2}$=$\frac{7+\sqrt{3}}{4}$，
∴曲線C₂上的點(diǎn)到C₃的最遠(yuǎn)距離為d+1=$\frac{11+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)之間的距離公式、圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．