Question

13．如圖，互相垂直的兩條公路AM，AN旁有一矩形花園ABCD，現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)
更大的三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ過點(diǎn)C，
其中AB=30m，AD=20m，AP的長不小于40m且不大于90m．記三角形花園APQ
的面積為S（m²）．
（1）設(shè)DQ=x（m），試用x表示AP，并求x的取值范圍；
（2）當(dāng)DQ的長度是多少時(shí)，S最�。孔钚≈凳嵌嗌�？

Answer 1

分析 （1）由于DC∥AB得出△QDC∽△DAP，即可表示AP，從而可求x的取值范圍；
（2）利用三角形的面積公式表示出面積，再利用基本不等式求最值，注意等號(hào)何時(shí)取得．

解答 解：（1）設(shè)DQ=x米（x＞0），則AQ=x+20，
∵$\frac{DQ}{DC}=\frac{AQ}{AP}$，∴$\frac{x}{30}=\frac{x+20}{AP}$，∴AP=$\frac{30（x+20）}{x}$，
∵40≤AP≤90，
∴10≤x≤60；
（2）S=$\frac{1}{2}$×AP×AQ=$\frac{15（x+20）^{2}}{x}$=15（x+$\frac{400}{x}$+40）≥1200，
當(dāng)且僅當(dāng)x+$\frac{400}{x}$，即x=20時(shí)取等號(hào)，S的最小值是1200m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．