Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$+alnx-2（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[e^-1，e]上的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可求b的取值范圍；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，討論a的取值范圍，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=\frac{2}{x}+2lnx-2$，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{2（x-1）}{x^2}$．…（1分）
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）．                …（4分）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，$g（x）=\frac{2}{x}+lnx+x-2-b$，則$g'（x）=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}$．
由g'（x）＞0解得：x＞1；由g'（x）＜0解得：0＜x＜1．
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取最小值，且g（x）_min=g（1）=1-b．   …（6分）
∵當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∴g（x）_min=1-b＜0，即b＞1．
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為（1，+∞）．                           …（8分）
（3）由題意，$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{a}{x}=\frac{ax-2}{x^2}$（x＞0）．
①若a≤0，則f'（x）≤0，f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上單調(diào)遞減；
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=\frac{2}{e}+a-2=-2$，即$a=-\frac{2}{e}$，適合題意．…（10分）
②若$0＜\frac{2}{a}≤\frac{1}{e}$，即a≥2e，則f'（x）＞0，f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上單調(diào)遞增；
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=2e-a-2=-2$，即a=2e，適合題意．…（12分）
③若$\frac{1}{e}＜\frac{2}{a}＜e$，即$\frac{2}{e}＜a＜2e$，則f（x）在$[{\frac{1}{e}，\frac{2}{a}}]$上單調(diào)遞減，在$[{\frac{2}{a}，e}]$上單調(diào)遞增；
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{2}{a}）=a+aln\frac{2}{a}-2=-2$，即a=2e（舍）．…（14分）
④若$\frac{2}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{2}{e}$，f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上單調(diào)遞減；
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=\frac{2}{e}+a-2=-2$，即$a=-\frac{2}{e}$，不合題意．
綜上所述，a=2e或$a=-\frac{2}{e}$．                         …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性，最值和極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．