Question

10．設$\overrightarrow{a}$=（x，3），$\overrightarrow$=（2，-1），根據下列條件求x的取值范圍．
（1）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角；
（2）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為直角；
（3）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為鈍角．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2x-3＞0，且x×1-2×1≠0，解不等式求得 x 的取值范圍；
（2）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為直角，得數量積為0，求出x；
（3）由于$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為鈍角，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2x-3＜0，-x-6≠0，解出即可；

解答 解：（1）由題意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2x-3＞0，且-x+3×2≠0，∴x＞$\frac{3}{2}$，且 x≠6，
故實數x的取值范圍為 （$\frac{3}{2}$，+6）∪（6，+∞），
（2）$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為直角，所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2x-3=0，所以x=$\frac{3}{2}$；
（3）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為鈍角，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2x-3＜0，且-x+6≠0，
解得x＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積公式的應用，屬于基礎題．