Question

19．設{a_n}是無窮數列，令a′k=$\frac{{a}_{k}+{a}_{k+1}}{2}$，（k=1，2，…），則稱{a′_k}是{a_k}的均值數列．仿此可定義，{a″_k}是{a′_k}的均值數列，且{a″_k}是{a′_k}的第二級均值數列．若{a_k}的各級均值數列都是整數列，則稱{a_k}是“好”數列，求證：若{a_k}是“好”數列，則{a_k²}也是“好”數列．

Answer 1

分析 由新定義可得，{a_k}的各級均值數列都是整數列，即有{a_k}均為奇數構成的數列或均為偶數構成的數列，根據奇數的平方必為奇數，偶數的平方必為偶數，即可得證．

解答 證明：若{a_k}是“好”數列，
由新定義可得，{a_k}的各級均值數列都是整數列，
即有{a_k}均為奇數構成的數列或均為偶數構成的數列，
根據奇數的平方必為奇數，偶數的平方必為偶數，
可得{a_k²}的各級均值數列都是整數列，
由新定義可得{a_k²}也是“好”數列．

點評 本題考查新定義的理解和運用，注意運用奇數和偶數的性質是解題的關鍵，屬于基礎題．