Question

1．已知二次函數(shù)y=f（x），當x=2時，函數(shù)f（x）取最小值-1，且f（1）+f（4）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（1，4）上無最小值，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可以得到該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（2，-1），設解析式為y=a（x-2）²-1，結合f（1）+f（4）=3可得f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（1，4）上無最小值，則函數(shù)圖象的對稱軸x=$\frac{k+4}{2}$≥4或$\frac{k+4}{2}$≤1，解得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=f（x），當x=2時函數(shù)取最小值-1，
∴二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（2，-1），
設解析式為y=a（x-2）²-1，（a＞0），
∵f（1）+f（4）=a-1+4a-1=5a-2=3，
解得：a=1，
故y=（x-2）²-1=y=x²-4x+3；
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²-（k+4）x+3在區(qū)間（1，4）上無最小值，
故對稱軸x=$\frac{k+4}{2}$≥4或$\frac{k+4}{2}$≤1，解得：x≥4或x≤-2，
即實數(shù)k的取值范圍為（-∞，-2]∪[4，+∞）．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)解析式的求法，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．