Question

6．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知tanA=$\frac{1}{3}$，設(shè)向量$\overrightarrow{x}$=（3a，cosA），$\overrightarrow{y}$=（2c，cosc），且$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
（1）若b=$\sqrt{5}$，求c²-a²的值；
（2）求B的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$以及兩個向量的坐標可得3acosC=2ccosA，進而由余弦定理可得3a×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2c×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，將其變形可得：3（a²+b²-c²）=2（b²+c²-a²），將b=$\sqrt{5}$代入其中即可得答案，
（2）根據(jù)題意易得3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，將其變形可得3tanA=2tanC，即可得tanC=$\frac{1}{2}$，而則tanB=-tan（A+B），由正切的和角公式可得tanB的值，結(jié)合B的范圍即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，向量$\overrightarrow{x}$=（3a，cosA），$\overrightarrow{y}$=（2c，cosc），且$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
則3acosC=2ccosA，
由余弦定理可得3a×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2c×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
變形可得：3（a²+b²-c²）=2（b²+c²-a²），
又由b=$\sqrt{5}$，則3（5+a²-c²）=2（5+c²-a²），
則求c²-a²=1；
（2）根據(jù)題意，向量$\overrightarrow{x}$=（3a，cosA），$\overrightarrow{y}$=（2c，cosc），且$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$，
則3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
變形可得3tanA=2tanC；
又由tanA=$\frac{1}{3}$，則tanC=$\frac{1}{2}$，
則tanB=-tan（A+C）=-$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=-1，
又由0＜B＜π，
則B=$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查正弦定理，余弦定理的運用，解題的關(guān)鍵是利用向量平行的性質(zhì)，將$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$轉(zhuǎn)化為3acosC=2ccosA．