Question

為了保護環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵下，進行技術改進：把二氧化碳轉化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關系可近似的表示為：

，且每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產(chǎn)品.

（1）當時，判斷該技術改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？

（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？并求出該最少處理成本.

Answer 1

【解析】（1）當時，設該工廠獲利為，則，

所以當時，，因此，該工廠不會獲利，所以國家至少需要補貼700萬元，該工廠才不會虧損；

（2）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為

1）當時，，所以，因為，所以當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)，所以當時，取得極小值.

2）當時，，當且僅當，即時，取最小值，因為，所以當處理量為噸時，每噸的平均處理成本最少.

答：（1）該工廠不會獲利，國家至少需要補貼700萬元，該工廠才不會虧損；

（2）當處理量為噸時，每噸的平均處理成本最少，且最少處理成本為每噸40萬元.