Question

7．已知橢圓的一個頂點A（0，-1），焦點在x軸上，且右焦點到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓上任一點P到左焦點的距離的最小與最大值．

Answer 1

分析 （1）依題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，由題設(shè)得$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得a²=3，則橢圓的方程可求；
（2）由左頂點到左焦點的距離最小，右頂點到左焦點的距離最大得答案．

解答 解：（1）依題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，
則右焦點F（$\sqrt{{a}^{2}-1}，0$），
由題設(shè)可得：$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得a²=3．
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）由$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，得$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{2}$．
∴由橢圓的性質(zhì)可得：橢圓上任一點P到左焦點的距離的最小值為a-c=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
最大值為a+c=$\sqrt{3}+\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，熟記橢圓上的所有點中，左頂點到左焦點的距離最小，右頂點到左焦點的距離最大，是中檔題．