Question

17．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（　�。�

• A． 2ab＜$\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$＜$\frac{a+b}{2}$＜b
• B． 2ab＜$\frac{a+b}{2}$＜$\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$＜b
• C． $\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$＜2ab＜$\frac{a+b}{2}$＜b
• D． 2ab＜$\frac{a+b}{2}$＜b＜$\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$

Answer 1

分析 b＞a＞0，且a+b=1，可得：1＞$b＞\frac{1}{2}$＞a，利用a²+b²$＞\frac{（a+b）^{2}}{2}$，可得$\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$$＞\frac{a+b}{2}$．由$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$，可得$2ab＜\frac{1}{2}$=$\frac{a+b}{2}$．由于$\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$-b=（a+b）（a²+b²）-b=a²+b²-b=（1-b）²+b²-b=2b²-3b+1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵b＞a＞0，且a+b=1，
∴2a＜1=a+b＜2b，∴1＞$b＞\frac{1}{2}$＞a，
$\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$=（a+b）（a²+b²）=a²+b²$＞\frac{（a+b）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$$＞\frac{a+b}{2}$，
又$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$，∴$ab＜\frac{1}{4}$，即$2ab＜\frac{1}{2}$=$\frac{a+b}{2}$．
$\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$-b=（a+b）（a²+b²）-b=a²+b²-b=（1-b）²+b²-b=2b²-3b+1=2$（b-\frac{3}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$$＜2×（\frac{1}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$=0，
∴$\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$＜b．
綜上可得：2ab＜$\frac{a+b}{2}$$＜\frac{{a}^{4}-^{4}}{a-b}$＜b．
故選：B．

點評 本題考查了不等式的基本性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、“作差法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．