Question

3．平面幾何里有設(shè)：直角三角形ABC的兩直角邊分別為a，b，斜邊上的高為h，則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$拓展到空間：設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)棱兩兩垂直，其長(zhǎng)分別為a，b，c，面BCD上的高為h，則有$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$．

Answer 1

分析 立體幾何中的類比推理主要是基本元素之間的類比：平面?空間，點(diǎn)?點(diǎn)或直線，直線?直線或平面，平面圖形?平面圖形或立體圖形，故本題由平面上的直角三角形中的邊與高的關(guān)系式類比立體中兩兩垂直的棱的三棱錐中邊與高的關(guān)系即可．

解答 解：∵A-BCD的三個(gè)側(cè)棱兩兩垂直，
∴AB⊥平面BCD．
由已知有：CD上的高AE=$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$，h=AO=$\frac{a•AE}{\sqrt{{a}^{2}+A{E}^{2}}}$，
∴h²=$\frac{{a}^{2}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}+^{2}{c}^{2}+{c}^{2}{a}^{2}}$，即$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．其思維過程大致是：觀察、比較 聯(lián)想、類推猜測(cè)新的結(jié)論．