Question

5．拋物線x²=2y離點(diǎn)A（0，a）（a＞0）最近的點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)，這個(gè)結(jié)論成立的充要條件是（　�。�

• A． a＞0
• B． a≥1
• C． 0＜a≤$\frac{1}{2}$
• D． 0＜a≤1

Answer 1

分析 將拋物線上的點(diǎn)離點(diǎn)A的距離用兩點(diǎn)距離的平方表示出來(lái)，再研究二次函數(shù)的最值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為拋物線上的任意一點(diǎn)，
則點(diǎn)P離點(diǎn)A（0，a）的距離的平方為
AP²=x²+（y-a）²=x²+y²-2ay+a²，
∵x²=2y，
∴AP²=2y+y²-2ay+a²
=y²+2（1-a）y+a²（y≥0）
∴對(duì)稱軸為y=a-1，
∵離點(diǎn)A（0，a）最近的點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)，
∴a-1≤0，解得0＜a≤1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，考查二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值的求法：弄清對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，在y=0時(shí)取到最小值，故函數(shù)在定義域內(nèi)遞增，對(duì)稱軸在區(qū)間左邊．