Question

10．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），若f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{4}$），且f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）內(nèi)有最大值，無最小值，則ω=$\frac{4}{5}$，或$\frac{52}{5}$，或20．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{4}}{2}$=$\frac{5π}{24}$對稱，求得ω=$\frac{24k+4}{5}$，k∈Z．再根據(jù)ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$≥kπ-$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{3π}{2}$，求得ω 的范圍．綜合求得ω的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），若f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{4}$），
可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{4}}{2}$=$\frac{5π}{24}$對稱，
再根據(jù)f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）內(nèi)有最大值，無最小值，$\frac{5π}{24}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），
可得ω•$\frac{5π}{24}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即ω=$\frac{48k+4}{5}$，k∈Z①．
還可得ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$≥2kπ-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得 12k-5≤ω≤8k+$\frac{14}{3}$，k∈Z②．
綜上①②可得，ω=$\frac{4}{5}$，或ω=$\frac{52}{5}$，或ω=20，
故答案為：$\frac{4}{5}$，或$\frac{52}{5}$，或 20．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．