Question

如圖2，直三棱柱中，，，棱，、分別是、的中點(diǎn)．

⑴ 求證：平面；

⑵ 求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

證明與求解：⑴，底面，

，， ，因?yàn)?sub>，，，所以平面 ， ，因?yàn)?sub>，所以平面

⑵（方法一）以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC₁在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系 ，

則、、 ，

、 ，

、、 ，

設(shè)平面的一個(gè)法向?yàn)?sub>，則 ，

即，取 ，

所以 ， 。

（方法二），， 分，所以，，… ，由⑴知，，所以平面……8分。

延長(zhǎng)到，延長(zhǎng)到，使，連接、 ，在中，，， ，

 ，

是平面的法向量，由所作知，從而，所以 。

其他方法，例如將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，可參照給分。