Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），對任意x∈R恒有f（x）＞f′（x），a=3f（ln2），b=2f（ln3），則有（　　）

• A． a＞b
• B． a=b
• C． a＜b
• D． a，b大小關系不能判斷

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得g（ln2）與g（ln3）的大小關系，整理即可得到答案．

解答 解：解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）•{e}^{x}-f（x）•{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因為對任意x∈R都有f（x）＞f′（x），
所以g′（x）＜0，即g（x）在R上單調(diào)遞減，
又ln2＜ln3，所以g（ln2）＞g（ln3），即$\frac{f（ln2）}{{e}^{ln2}}$＞$\frac{f（ln3）}{{e}^{ln3}}$，
所以$\frac{f（ln2）}{2}$＞$\frac{f（ln3）}{3}$，即3f（ln2）＞2f（ln3），
即a＞b，
故選；A

點評 本題考查導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．