Question

19．求函數(shù)f（x）=e^x．（x≤1）的切線與坐標軸圍城的三角形面積的最大值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，以及切線和坐標軸的交點坐標，利用三角形的面積公式即可得到結(jié)論

解答 解：∵f（x）=e^x，∴f′（x）=e^x，
設(shè)點P（x₀，f（x₀））的切線方程為y-ex0=ex0（x-x₀），
令x=0，解得y=ex0（1-x₀），
令y=0，解得x=x₀-1，
∵x₀≤1，∴x=x₀-1≤0，
則切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為S=$\frac{1}{2}$|x₀-1|ex0（1-x₀）=$\frac{1}{2}$ex0（1-x₀）²，
則S′=$\frac{1}{2}$ex0（-1+x₀²），
∴當x₀＜-1時，S′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當-1＜x₀＜0時，S′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x₀=-1時，函數(shù)取得極大值也是最大值，
∴此時最大值為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{e}×4$=$\frac{2}{e}$．
所以函數(shù)f（x）=e^x．（x≤1）的切線與坐標軸圍城的三角形面積的最大值為$\frac{2}{e}$．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值和極值，綜合性較強，運算量較大，屬于中檔題．