Question

6．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）-2x（x∈R）．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性和單調(diào)性：
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使不等式f（2x-m+3）+f（x²-m²）≤0對x∈R恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請 說明理由．

Answer 1

分析 （1）對于函數(shù)f（x）=sin2x-2x，由f（-x）=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)．由f′（x）=2cos2x-2≤0，可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
（2）f（2x-m+3）+f（x²-m²）≤0對x∈R恒成立，即f（2x-m+3）＜f（m²-x² ）．可得2x-m+3＞m²-x²，即 x²+2x+3-m²-m＞0恒成立，再由△＜0，求得m的范圍．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）-2x=sin2x-2x，由f（-x）=sin（-2x）-（-2x）=-sin2x+2x=-f（x），
可得函數(shù)為奇函數(shù)．
由f′（x）=2cos2x-2≤0，可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
（2）f（2x-m+3）+f（x²-m²）≤0對x∈R恒成立，即f（2x-m+3）＜-f（x²-m²）恒成立，
即 f（2x-m+3）＜f（m²-x² ）．
再根據(jù)函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，可得2x-m+3＞m²-x²，即 x²+2x+3-m²-m＞0恒成立，
即△=4-4（ 3-m²-m）＜0，求得-2＜m＜1．

點評 本題主要考查函數(shù)的求偶性、單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．