Question

12．函數f（x）=${log}_{\frac{1}{3}}$（ax²-x+2）在區(qū)間[0，1]上單調遞增，則實數a的范圍為（-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 利用換元法，結合復合函數單調性之間的關系進行求解即可．

解答 解：設t=g（x）=ax²-x+2，
則y=${log}_{\frac{1}{3}}$t在定義域上為減函數，
若函數f（x）=${log}_{\frac{1}{3}}$（ax²-x+2）在區(qū)間[0，1]上單調遞增，
則t=g（x）=ax²-x+2，在區(qū)間[0，1]上單調遞減，且g（1）＞0，
若a=0，則g（x）=-x+2為減函數，g（1）=2-1=1＞0，滿足條件．
若a＞0，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a}≥1}\\{a-1+2＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，解0＜a≤$\frac{1}{2}$．
若a＜0，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a}＜0}\\{a-1+2＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，解得-1＜a＜0．
綜上-1＜a≤$\frac{1}{2}$．
故答案為：（-1，$\frac{1}{2}$]

點評 本題主要考查復合函數單調性的應用，利用換元法結合對數函數和一元二次函數的單調性是解決本題的關鍵．