Question

4．已知公差為d等差數(shù)列{a_n}滿足d＞0，且a₂是a₁，a₄的等比中項．記b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$（n∈N⁺），則對任意的正整數(shù)n均有$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$＜2，則公差d的取值范圍是[$\frac{1}{2}，+∞$）．

Answer 1

分析 因為a₂是a₁和a₄的等比中項，所以（a₁+d）2=a₁（a₁+3d），繼而求得a₁=d，從而$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+…+\frac{1}{_{n}}$的式子即可求得，列式求解即得到d的取值范圍．

解答 解：因為a₂是a₁和a₄的等比中項，所以（a₁+d）2=a₁（a₁+3d），
解得a₁=d＞0，所以a_n=nd，因此，b_n=2ⁿd，
故，$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+…+\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}znrckes[\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}]$=$\frac{1}wuffao0[1-\frac{1}{{2}^{n}}]＜\frac{1}xibulv5≤2$，
所以，$d≥\frac{1}{2}$，
故答案為：[$\frac{1}{2}，+∞$）．

點評 本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應用，屬于難度較大的題目，在高考中常在選擇填空壓軸出現(xiàn)．