Question

20．已知拋物線x²=2y過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出拋物線x²=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得過拋物線x²=2y的焦點(diǎn)的直線方程，將所得方程與拋物線x²=2y聯(lián)解，消去y得：x²-2kx-1=0，根據(jù)韋達(dá)定理得x₁x₂=-1．再用函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，得拋物線過A點(diǎn)的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），化簡得y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，同理得到在點(diǎn)B處切線方程為y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，兩方程消去x，得兩切線交點(diǎn)Q縱坐標(biāo)滿足y_A=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$，可得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是-$\frac{1}{2}$．

解答 解：∵拋物線x²=2y的焦點(diǎn)為F（0，$\frac{1}{2}$）
∴設(shè)過拋物線x²=2y的焦點(diǎn)的直線為y=kx+$\frac{1}{2}$．
設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2y}\\{y=kx+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，消去y得：x²-2kx-1=0，根據(jù)韋達(dá)定理，得x₁x₂=-1，
拋物線x²=2y，即二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得y'=x，
所以拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為k₁=x₁，
可得切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），化簡得y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，
同理，得到拋物線在點(diǎn)Q處切線方程為y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，
兩方程消去x，得兩切線交點(diǎn)A縱坐標(biāo)滿足y_A=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$，
∵x₁x₂=-1，
∴y_A=-$\frac{1}{2}$，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題給出拋物線過焦點(diǎn)的弦，分別在兩個端點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)A，求A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，考查了拋物線的基本概念和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于中檔題．