Question

如圖所示，n臺機器人M₁，M₂，……，M_n位于一條直線上，檢測臺M在線段M₁ M_n上，n臺機器人需把各自生產(chǎn)的零件送交M處進行檢測，送檢程序設(shè)定：當M_i把零件送達M處時，M_i+1即刻自動出發(fā)送檢（i=1,2,……,n-1）已知M_i的送檢速度為V(V>0), 且記，n臺機器人送檢時間總和為f(x).

 

(1)求f(x)的表達式；

(2)當n=3時，求x的值使得f(x)取得最小值；

(3)求f(x)取得最小值時， x的取值范圍。

Answer 1

（1）以M1為坐標原點，M₁，M₂…，M_n所在直線為x軸建立數(shù)軸M_i的坐標為i-1，M的坐標為x。

f(x)=   …3分

（2）n=3時,V f(x)=

 f(x)在x=1處取得最小值

（3）當i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ)時。

=x+(x-1)+…+(x-i)-(x-(i+1))+…+(x-(n-1))

=[( i+1)x-(1+2+…+ i)]-[n-( i+1)·x-( i+1+ i+2+…+(n-1) ]

=-[n-2 (i+1) ]·x-

當0≤i<時，f(x)單調(diào)遞減：當時，f(x)單調(diào)遞增

當, f(x)為常函數(shù)，又f(x)圖象是一條連續(xù)不斷的圖象，所以①n為偶數(shù)時，f(x)在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，在()為常函數(shù)，在（，n-1）單調(diào)遞增，所以當x∈[,]時f(x)取得最小值。

②n為奇數(shù)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，（表示的整數(shù)部分），在    內(nèi)單調(diào)遞增，所以當時取得最小值     （13分）