Question

20．在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，AA′=$\sqrt{3}$a，則直線AB′與側(cè)面AC′所成角的正切值為$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

Answer 1

分析 取A'C'的中點(diǎn)D，連接B'D，AD，由線面垂直的性質(zhì)和判定定理，得到B'D⊥平面AC'，則∠B'AD即為直線AB′與側(cè)面AC′所成的角，再由解直角三角形的知識(shí)，即可得到所成角的正切值．

解答 解：取A'C'的中點(diǎn)D，連接B'D，AD，
則由底面邊長(zhǎng)為a的正三角形，得，B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，B'D⊥A'C'，
在直三棱柱中，AA'⊥底面A'B'C'，
則AA'⊥B'D，即有B'D⊥平面AC'，
則∠B'AD即為直線AB′與側(cè)面AC′所成的角，
在直角三角形B'AD中，B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，
則tan∠B'AD=$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
故直線AB′與側(cè)面AC′所成角的正切值為$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理及運(yùn)用，考查空間直線與平面所成的角的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．