Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，且a+b=$\sqrt{2}+1$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A、B兩點(diǎn)，證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．

Answer 1

分析 （1）易知c=1；從而可求得a=$\sqrt{2}$，b=1；從而寫出橢圓C的方程．
（2）不妨設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0}\\{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，從而化簡(jiǎn)可得2（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）=4-3${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$；再設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，從而化簡(jiǎn)d=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．從而證明．

解答 解：（1）由題意知，2c=2，
故c=1；
又∵a²-b²=c²=1；
∴a-b=$\frac{1}{a+b}$=$\sqrt{2}$-1；
∴a=$\sqrt{2}$，b=1；
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）證明：不妨設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0}\\{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，
則${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=${{y}_{1}}^{2}$${{y}_{2}}^{2}$=（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$）（1-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$）；
即2（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）=4-3${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$；
設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，
d=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（1+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}）（1+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}）}{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1+\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2}+\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{4}}{1+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+1+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1+（1-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}）+\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{4}}{2+（1-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}）}}$
=$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程的求法及橢圓與直線的位置關(guān)系的判斷，屬于難題．