Question

17．如圖，在直三棱柱ABC-${A}_{{1}_{{\;}_{\;}}}$B₁C₁中，M為AB₁的中點(diǎn)，△CMB₁為等邊三角形．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）若BC=2，AB₁=8，求點(diǎn)C₁到平面CMB₁的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過直三棱柱ABC-${A}_{{1}_{{\;}_{\;}}}$B₁C₁的性質(zhì)知AC⊥C₁C，結(jié)合M為AB₁的中點(diǎn)，△CMB₁為等邊三角形，可得AC⊥CB₁，利用線面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過${V}_{M-{B}_{1}{C}_{1}C}$=${V}_{{C}_{1}-C{B}_{1}M}$計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：由直三棱柱ABC-${A}_{{1}_{{\;}_{\;}}}$B₁C₁的性質(zhì)知AC⊥C₁C，
∵M(jìn)為AB₁的中點(diǎn)，△CMB₁為等邊三角形，
∴MA=MB₁=MC，
∴AC⊥CB₁，
又∵CB₁∩C₁C=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）解：∵AB₁=8，△CMB₁為等邊三角形，
∴CB₁=$\frac{1}{2}$AB₁=4，
又∵BC=2，∴C₁C=$\sqrt{{B}_{1}{C}^{2}-{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=$2\sqrt{3}$，
∵${V}_{M-{B}_{1}{C}_{1}C}$=${V}_{{C}_{1}-C{B}_{1}M}$，
∴$\frac{1}{3}•$${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}$•MO=$\frac{1}{3}•$${S}_{△{B}_{1}CM}$•h，
解得h=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)C₁到平面CMB₁的距離為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的判定，棱錐的體積公式，考查空間想象能力、分析能力、計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．