Question

9．已知x=2是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx²+2x+a的一個極值點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）-$\frac{2}{3}$＞a²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)x=2是f（x）的一個極值點(diǎn)建立等式關(guān)系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0，即可得到單調(diào)減區(qū)間；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值，若當(dāng)x∈[1，+∞）時，要使f（x）-a²＞$\frac{2}{3}$恒成立，只需f（x）_min＞a²+$\frac{2}{3}$，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一個極值點(diǎn)，
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一個根，解得b=$\frac{3}{2}$，
令f′（x）＞0，則x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0，則x²-3x+2＜0，解得1＜x＜2．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．
（2）∵當(dāng)x∈（1，2）時f′（x）＜0，x∈（2，+∞）時f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（2）是f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值，且 f（2）=$\frac{2}{3}$+a．
若當(dāng)x∈[1，+∞）時，要使f（x）-$\frac{2}{3}$＞a²恒成立，只需f（2）＞a²+$\frac{2}{3}$，
即$\frac{2}{3}$+a＞a²+$\frac{2}{3}$，
解得 0＜a＜1．
即有a的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的極值，單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．