Question

12．若函數(shù)f（x）=$\frac{e{\;}^{x}}{x{e}^{x}+1}$．
（1）討論函數(shù)f（x）=$\frac{e{\;}^{x}}{x{e}^{x}+1}$的單調(diào)性，并求其最大值；
（2）對(duì)于?x∈（0，+∞），不等式$\frac{1}{f（x）}$＜ax²+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性，并求其最大值．（2）由a=0，a＜0，a＞0三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x{e}^{x}+1）-{e}^{x}（{e}^{x}+x{e}^{x}）}{（x{e}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（1-{e}^{x}）}{（x{e}^{x}+1）^{2}}$
由f′（x）＞0，得1-e^x＞0，解得x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，得1-e^x＜0，解得x＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是最大值f（0）=1，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間（-∞，0]，減區(qū)間[0，+∞），最大值1．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，$\frac{1}{f（x）}=x+\frac{1}{{e}^{x}}＞1$，不等式不成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，ax²+1＜1，$\frac{1}{f（x）}＞1$，不等式不成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{1}{f（x）}=x+\frac{1}{{e}^{x}}＜a{x}^{2}+1$，等價(jià)于（ax²-x+1）e^x-1＞0，
設(shè)h（x）=（ax²-x+1）e^x-1，h′（x）=x（ax+2a-1）e^x，
若$a≥\frac{1}{2}$，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）＞h（0）=0
$0＜a＜\frac{1}{2}時(shí)$，$x∈（0，\frac{1-2a}{a}）時(shí)$，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，h（x）＜h（0）=0，不合題意．
綜上，a的取值范圍是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性、求最值以及不等式恒成立問題，解題時(shí)注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的應(yīng)用．