Question

13．已知在△ABC中，b=2c，角A的平分線長m，m=kc，則k的取值范圍是k∈（0，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 在△ABC中，AD是∠A的平分線，AB=2AC，利用角平分線的性質(zhì)定理可得：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}=\frac{1}{2}$，∠1=∠2．令A(yù)C=a，DC=b，AD=c，則AB=2a，BD=2b．在△ABD與△ACD中，分別利用余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠1，DC²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠2，化簡整理即可得出．

解答 解：如圖所示

∵在△ABC中，AD是∠A的平分線，b=2c，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}=\frac{1}{2}$，∠1=∠2．
令A(yù)C=b=2c，BD=x，AD=m=kc，則AB=c，DC=2x．
在△ABD與△ACD中，分別利用余弦定理可得：
BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠1，
DC²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠2，
∴x²=c²+c²k²-2kc²cos∠1，4x²=4c²+k²c²-4kc²•cos∠2，
化為3k²c²-4kc²cos∠1=0，
∴k=$\frac{4}{3}$cos∠1，
∵∠1∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cos∠1∈（0，1）．
∴k∈（0，$\frac{4}{3}$）．
故答案為：k∈（0，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理、余弦定理；關(guān)鍵是利用余弦定理得到關(guān)于k的等式．