Question

10．已知方程（x²-mx+4）（x²-nx+4）=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，則|m-n|的值為（　�。�

• A． 0
• B． $11\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 方程（x²-mx+4）（x²-nx+4）=0，即方程x²-mx+4=0，x²-nx+4=0，設(shè)方程x²-mx+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，x²-nx+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₃，x₄．可得x₁+x₂=m，x₁x₂=4，x₃+x₄=n，x₃•x₄=4，不妨設(shè)x₁＜x₂，x₃＜x₄，則此數(shù)列為$\frac{1}{4}$，x₃，x₄，x₂．設(shè)公比為q．利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出．

解答 解：方程（x²-mx+4）（x²-nx+4）=0，即方程x²-mx+4=0，x²-nx+4=0，
設(shè)方程x²-mx+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，
x²-nx+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₃，x₄．
則x₁+x₂=m，x₁x₂=4，x₃+x₄=n，x₃•x₄=4，
不妨設(shè)x₁＜x₂，x₃＜x₄，
則此數(shù)列為$\frac{1}{4}$，x₃，x₄，x₂．設(shè)公比為q．
∴x₁=$\frac{1}{4}$，x₃=$\frac{1}{4}$q，x₄=$\frac{1}{4}{q}^{2}$，x₂=$\frac{1}{4}{q}^{3}$．
∴$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}{q}^{3}$=4，
解得q=4．
∴此數(shù)列為：$\frac{1}{4}$，1，4，16．
∴m=$\frac{1}{4}$+16，n=1+4．
∴|m-n|=|$\frac{1}{4}$+16-5|=$\frac{45}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．