Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$，若對(duì)?a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2]．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，討論m≥1，當(dāng)m＜1時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得值域，再由不等式恒成立思想可得m的范圍．

解答 解：由題意可得，f（a）+f（b）＞f（c）對(duì)任意的a、b、c∈R恒成立，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$=$\frac{{e}^{x}+1+m-1}{{e}^{x}+1}$=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，
∴當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)椋?，m）；
即f（a）＞1，f（b）＞1，則f（a）+f（b）＞2，
又f（c）＜m，
由恒成立思想可得，1≤m≤2 ①．
當(dāng)m＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)椋╩，1）；
故f（a）+f（b）＞2m，f（c）＜1，
同理可得2m≥1，即$\frac{1}{2}$≤m＜1②
由①②可得$\frac{1}{2}$≤m≤2，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域和單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，屬于中檔題．