Question

3．給出下列四個命題：①4^0.5＞（$\frac{1}{3}$）^1.5＞log_0.54.3
②方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有實數(shù)根的概率為$\frac{1}{4}$
③三個實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，若有a+b+c=1成立，則b的取值范圍是[-1，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]
④函數(shù)y=$\sqrt{3}$sinx+cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的最大值為$\sqrt{3}$．
其中是真命題的序號是①②③．

Answer 1

分析 ①log_0.54.3＜0，4^0.5＞1＞（$\frac{1}{3}$）^1.5，可得結論；
②方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有實數(shù)根，則△=1-4n≥0，可得n≤$\frac{1}{4}$，即可求出方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有實數(shù)根的概率；
③依題意設公比為q，則可分別表示出a和c，進而可用q表示出b，對q＞0和q＜0兩種情況分類討論，利用基本不等式求得b的范圍；
④函數(shù)y=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，則x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，所以最大值為2．

解答 解：①log_0.54.3＜0，4^0.5＞1＞（$\frac{1}{3}$）^1.5，∴4^0.5＞（$\frac{1}{3}$）^1.5＞log_0.54.3，即①正確；
②方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有實數(shù)根，則△=1-4n≥0，∴n≤$\frac{1}{4}$，∴方程x²+x+n=0（n∈[0，1]）有實數(shù)根的概率為$\frac{1}{4}$，即②正確；
③設公比為q，顯然q不等于0，a+b+c=b（$\frac{1}{q}$+1+q）=1，∴b=$\frac{1}{1+q+\frac{1}{q}}$．當q＞0時，q+$\frac{1}{q}$≥2，∴0＜b≤$\frac{1}{3}$
當q＜0時，q+$\frac{1}{q}$≤-2，0＞b≥-1，綜上：b的取值范圍是[-1，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]，故正確；
④函數(shù)y=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，則x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，所以最大值為2，故不正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查命題真假的判斷，主要考查了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質，考查概率知識，考查等比數(shù)列的性質，以及基本不等式的應用．考查了學生對基礎知識的綜合把握．